Stochastik Qualifikationsphase: Kenngrößen, Binomialverteilung, Hypothesentest, Stetige Zufallsvariablen, Normalverteilung, Stochastische Prozesse

Ihre Schüler*innen lernen anhand eines Reaktionszeittests grundlegende Begriffe empirischer Datennahme kennen, indem sie ermittelte Reaktionszeiten zunächst in eine Urliste eintragen, bevor sie schrittweise angeleitet die Kenngrößen Mittelwert und empirische Standardabweichung berechnen lernen und im Anschluss an Schülerbuchaufgaben vertiefen.Die Bedeutung der empirischen Standardabweichung wird über die "Gauß'sche Faustregel" anhand bereits untersuchter Zufallsexperimente verdeutlicht: In ein Standardabweichungsintervall um den Mittelwert fallen etwa 68% aller Ereignisse.Den Übergang von der Empirie zur Theorie wird bei ausreichend häufiger Wiederholung eines Experiments vollzogen: Aus der Häufigkeitsverteilung wird eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, aus dem Mittelwert m wird der Erwartungswert µ und aus der empirischen Standardabweichung s wird die theoretische Standardabweichung σ. Die neuen Größen werden dabei exemplarisch anhand eines Glücksspiels unter Verwendung von Baumdiagrammen sowie der Produktregel und Summenregel in einen Kontext eingebettet.Ihre Schüler*innen leiten sich auf dem Weg die neuen Formeln zur Berechnung der theoretischen Größen selbstständig durch eine Analogiebetrachtung zu den mittlerweile aus der Empirie bekannten Formeln ab und lernen, dass bei einem Zufallsexperiment verschiedene Zufallsvariablen betrachtet werden können.

Klassenstufen: Q1 (11./12. Jhg.), Q2 (12./13. Jhg.)

Ihre Schüler*innen lernen die Binomialverteilung am Galton-Brett als Paradebeispiel kennen. Sie identifizieren die Anzahl der Wege in die Fächer mit den Zahlen im Pascal-Dreieck und lernen die Binomialkoeffizienten als neue Schreibweise kennen. Die Bernoulli-Formel wird mithilfe eines Baumdiagramms schrittweise hergeleitet.Im Anschluss erkennen sich Ihre Lernenden, dass Bernoulli-Experimente Zufallsexperimente mit nur zwei möglichen Ausgängen sind und betrachten Bernoulli-Ketten, die sie sowohl unter Verwendung von Baumdiagrammen als auch der zuvor motivierten Bernoulli-Formel bearbeiten und lernen dabei die Binomialkoeffizienten mihilfe von Fakultäten zu berechnen.Den Einfluss der Länge n einer Bernoulli-Kette und der Trefferwahrscheinlichkeit p auf die Lage und Form der Binomialverteilung untersuchen Ihre Schüler*innen abschließend mit einem dynamischen Geogebra-Applet.

Klassenstufen: Q1 (11./12. Jhg.), Q2 (12./13. Jhg.)

Ihre Schüler*innen führen zunächst am Kontext von Hotelbuchungen einen zweiseitigen Hypothesentest für eine binomialverteilte Zufallsgröße durch, um herauszufinden, ob die Annahme einer gewissen Stornierungswahrscheinlichkeit gerechtfertigt ist. Dazu bestimmen die Lernenden zunächst den Annahmebereich der Nullhypothese und beurteilen dann auf Basis einen Stichprobenergebnisses, ob die Hypothese verworfen werden sollte. Der Test wird auf verschiedenen Signifikanzniveaus wiederholt.Am Beispiel eines einseitigen Hypothesentests erkunden die Schüler*innen den α-Fehler und den β-Fehler und berechnen Wahrscheinlichkeiten für deren Eintreten an einer innermathematischen Problemstellung. Mithilfe der graphischen Darstellungen der Verteilungen begründen sie, welchen Einfluss die Wahrscheinlichkeiten von Nullhypothese und der wahren Verteilung sowie die Stichprobengroße auf die Fehlerwahrscheinlichkeiten haben.

Klassenstufen: Q1 (11./12. Jhg.), Q2 (12./13. Jhg.)

Am Beispiel einer Regentropfenverteilung auf einem Tisch wird den SuS deutlich, dass die Zufallsvariable "Abstand vom Tischmittelpunkt" beliebige (nicht-diskrete) Werte annehmen kann. Durch das arbeitsteilige Abzählen von Regentropfen in konzentrischen Ringen auf 10 Arbeitsblättern mit unterschiedlichen Realisierungen der Verteilung von je 100 Regentropfen wird das Bestimmen von relativen Häufigkeiten als Quotient aus absoluter Häufigkeit und Gesamtzahl aller Ereignisse wiederholt. Indem sie die Verteilung der relativen Häufigkeiten in verschiedenen Abständen vom Tischmittelpunkt mit einer vorgegebenen Funktion modellieren, erklären die SuS, dass die relative Häufigkeit (als Schätzung der Wahrscheinlichkeit) durch das Integral über die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion gegeben ist.Nach ein wenig Übung der Wahrscheinlichkeitsbestimmung für stetige Zufallsvariablen mit Aufgaben aus dem Schülerbuch werden durch eine Analogiebetrachtung die Formeln für Erwartungswert und Standardabweichung aus den für den diskreten Fall bekannten Formeln motiviert.Am Beispiel verschiedener stetig exponentiell verteilter Zufallsgrößen wird die Thematik weiter untersucht und vertiefende Kenntnisse aus dem Bereich der Analysis eingefordert.

Klassenstufen: Q1 (11./12. Jhg.), Q2 (12./13. Jhg.)