Analytische Geometrie - Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen

Nachdem Ihre Schüler*innen bereits Geraden mithilfe von vektoren in Parameterform darzustellen gelernt haben sowie auf Orthogonalität und Winkel zwischen zwei Geraden bestimmen können, setzt sich die Unterrichtsreihe zur Analytischen  Geometrie mit der Beschreibung und Untersuchung von Ebenen in Parameterform fort.Ihre Lernenden wenden dazu zunächst ihre bereits vorhandenen Kenntnisse zu dreidimensionalen Koordinatensystemen an, um am Kontext Laserschweißen eine Ebene im Raum sowie zwei Laserstrahlen beschreibende Geraden abzubilden. Mithilfe ihnen bekannter Methoden bestimmen sie graphisch und rechnerisch den Schnittpunkt der beiden Laserstrahlen, um den Standort der Laserquelle zu ermitteln und berechnen ebenfalls den Winkel zwischen den beiden Laserstrahlen.Im Anschluss erarbeiten sich die SuS anhand des Schulbuchtextes (hier: Lambacher-Schweizer) wie Ebenen im Raum in Parameterform mithilfe von Vektoren zu beschreiben sind. Durch die Ihnen bekannte Beschreibuing von Geraden in Parameterform ist dies nur ein kleiner Schritt, den die Schüler*innen erfahrungsgemäß in Gruppenarbeit sicher alleine bewältigen.Sie beschreiben die Ebene, die ein Schweißstück beschreibt, mit ihrem neu erworbenen Wissen. Durch eine Analogiebetrachtung zur Schnittpunktberechnung von Geraden, bestimmen sie den Durchstoßpunkt des neu ausgerichteten Lasers und der Ebene, die ein Schweißstück beschreibt, zunächst mithilfe des GTR.Zu Anschauungszwecken kann ein Geogebra-Skript (beigefügt!) eingesetzt werden, um die Beschreibung von Ebenen mit Stützvektor und Spannvektoren zu veranschaulichen und die hier parametrisierte Ebene sowie die Laserstrahlen darzustellen.Abschließend fassen sie das von ihnen durchgeführte Vorgehen zur Bestimmung des Schnittpunktes einer Geraden mit einer Ebene stichpunktartig in Form einer Anleitung zusammen und erkennen, dass Ebenen (ebenso wie Geraden) nicht eindeutig parametrisierbar sind.Das neu erworbene Wissen wird anhand von Schulbuchaufgaben geübt und vertieft, bevor ein Transfer auf die Bestimmung von Schattenpunkten über die Projektion eines Gegenstandes auf eine Ebene des Koordinatensystems erfolgt.Verpasse keine Neuigkeiten, Updates und Schnäppchen mehr. Folge Lehrer Dr. Michi auf Facebook, Instagram und Pinterest.

Klassenstufen: EF (10./11. Jhg.), Q1 (11./12. Jhg.)

Nachdem die SuS gelernt haben, Punkte und Vektoren in der Ebene zu beschreiben und den Umgang mit Vektoren im Sachzusammenhang eingeübt haben, erarbeiten sie sich hier mit einer kurzen Anleitung selbstständig, wie der Abstand zweier Punkte im Koordinatensystem berechnet werden kann.Auf diesem kostenlosen Arbeitsblatt der Unterrichtsreihe zur Analytischen Geometrie¹ zeichnen die SuS zunächst zwei Ortsvektoren sowie den zugehörigen Differenzvektor in ein Koordinatensystem. Sie geben die Koordinaten des Differenzvektors an und erkennen daran, dass die Ortsvektoren subtrahiert werden müssen, um den Abstandsvektor zu erhalten. Mithilfe des Satz des Pythagoras berechnen die SuS den Abstand der Ortsvektoren aus dem nun bekannten Abstandsvektor.Die bis hierhin in der Unterrichtsreihe zu Vektoren erarbeiteten Kenntnisse werden nun auf den dreidimensionalen Raum übertragen.

Klassenstufen: EF (10./11. Jhg.), Q1 (11./12. Jhg.)

Nach der Behandlung von Vektoren in der Ebene aus mathematisch-geometrischer Sicht sowie auch im Sachzusammenhang werden die SuS an das Angeben und Messen von Koordinaten im dreidimensionalen Raum herangeführt, indem Sie mit Zollstöcken Positionen von Objekten im Kursraum bestimmen.Auf diesem kostenlosen Arbeitsblatt in der Unterrichtsreihe zur Analytischen Geometrie¹ überlegen sich die SuS, was die vorgegebenen Koordinaten eines im Kursraum platzierten Objektes bedeuten. Daran können Sie ermitteln wo von der Lehrkraft der Koordinatenursprung gewählt wurde (auf Rechtshändigkeit des Koordinatensystems achten!). Diese Erkenntnis transferieren sie, um die unbekannten Koordinaten von weiteren Objekten im Kursraum zu ermitteln. Im Anschluss daran wird gemeinsam an der Tafel / am Smartboard die Darstellung dreidimensionaler Koordinatensysteme erarbeitet und anhand von Übungsaufgaben aus dem Schülerbuch insbesondere die Mehrdeutigkeit der Koordinaten von eingetragenen Punkten ohne Zusatzinformation über deren Lage thematisiert.Die Unterrichtsreihe fährt danach mit der Behandlung der Beschreibung von Geraden mithilfe von Vektoren fort.

Klassenstufen: EF (10./11. Jhg.), Q1 (11./12. Jhg.)

Zum Einstieg in die Unterrichtsreihe zur analytischen Geometrie lernen Ihre Schüler*innen Vektoren als Pfeile in einem ebenen Koordinatensystem kennen und als Verschiebung von Punkten geometrisch anschaulich zu interpretieren.Ihre Lernenden zeichnen nach Anleitung Punkte und Vektoren in ein vorgegebenes Koordinatensystem und lernen auf dem Weg die Begriffe Ortsvektor und Repräsentant kennen. Die SuS berechnen den Betrag eines Vektors nach Pythagoras, die Multiplikation mit einem Skalar wird anschaulich als Verlängerung eines Vektors um einen Faktor interpretiert und die Vektoraddition wird als das Ersetzen mehrerer Verschiebungen eines Punktes hintereinander durch eine einzelne Verschiebung veranschaulicht.Das nächste Arbeitsblatt erfüllt den Wunsch Ihrer Schüler*innen nach Kontexten, die eine Vernetzung des Erlernten erlauben. Dabei erkennen sie, dass Vektoren nicht nur Orte und damit verbunden Positionsänderungen angeben können (Aufgabe 1), sondern beispielsweise auch Kräfte (Aufgabe 2) und Geschwindigkeiten (Aufgabe 3) beschreiben.Verpasse keine Neuigkeiten, Updates und Schnäppchen mehr. Folge Lehrer Dr. Michi auf Facebook, Instagram und Pinterest.

Klassenstufen: EF (10./11. Jhg.), Q1 (11./12. Jhg.)