Analytische Geometrie - Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen

Zum Einstieg in die Unterrichtsreihe zur analytischen Geometrie lernen Ihre Schüler*innen Vektoren als Pfeile in einem ebenen Koordinatensystem kennen und als Verschiebung von Punkten geometrisch anschaulich zu interpretieren.Ihre Lernenden zeichnen nach Anleitung Punkte und Vektoren in ein vorgegebenes Koordinatensystem und lernen auf dem Weg die Begriffe Ortsvektor und Repräsentant kennen. Die SuS berechnen den Betrag eines Vektors nach Pythagoras, die Multiplikation mit einem Skalar wird anschaulich als Verlängerung eines Vektors um einen Faktor interpretiert und die Vektoraddition wird als das Ersetzen mehrerer Verschiebungen eines Punktes hintereinander durch eine einzelne Verschiebung veranschaulicht.Das nächste Arbeitsblatt erfüllt den Wunsch Ihrer Schüler*innen nach Kontexten, die eine Vernetzung des Erlernten erlauben. Dabei erkennen sie, dass Vektoren nicht nur Orte und damit verbunden Positionsänderungen angeben können (Aufgabe 1), sondern beispielsweise auch Kräfte (Aufgabe 2) und Geschwindigkeiten (Aufgabe 3) beschreiben.Verpasse keine Neuigkeiten, Updates und Schnäppchen mehr. Folge Lehrer Dr. Michi auf Facebook, Instagram und Pinterest.

Klassenstufen: EF (10./11. Jhg.), Q1 (11./12. Jhg.)

Nachdem die SuS gelernt haben, Punkte und Vektoren in der Ebene zu beschreiben und den Umgang mit Vektoren im Sachzusammenhang eingeübt haben, erarbeiten sie sich hier mit einer kurzen Anleitung selbstständig, wie der Abstand zweier Punkte im Koordinatensystem berechnet werden kann.Auf diesem kostenlosen Arbeitsblatt der Unterrichtsreihe zur Analytischen Geometrie¹ zeichnen die SuS zunächst zwei Ortsvektoren sowie den zugehörigen Differenzvektor in ein Koordinatensystem. Sie geben die Koordinaten des Differenzvektors an und erkennen daran, dass die Ortsvektoren subtrahiert werden müssen, um den Abstandsvektor zu erhalten. Mithilfe des Satz des Pythagoras berechnen die SuS den Abstand der Ortsvektoren aus dem nun bekannten Abstandsvektor.Die bis hierhin in der Unterrichtsreihe zu Vektoren erarbeiteten Kenntnisse werden nun auf den dreidimensionalen Raum übertragen.

Klassenstufen: EF (10./11. Jhg.), Q1 (11./12. Jhg.)

Nach der Behandlung von Vektoren in der Ebene aus mathematisch-geometrischer Sicht sowie auch im Sachzusammenhang werden die SuS an das Angeben und Messen von Koordinaten im dreidimensionalen Raum herangeführt, indem Sie mit Zollstöcken Positionen von Objekten im Kursraum bestimmen.Auf diesem kostenlosen Arbeitsblatt in der Unterrichtsreihe zur Analytischen Geometrie¹ überlegen sich die SuS, was die vorgegebenen Koordinaten eines im Kursraum platzierten Objektes bedeuten. Daran können Sie ermitteln wo von der Lehrkraft der Koordinatenursprung gewählt wurde (auf Rechtshändigkeit des Koordinatensystems achten!). Diese Erkenntnis transferieren sie, um die unbekannten Koordinaten von weiteren Objekten im Kursraum zu ermitteln. Im Anschluss daran wird gemeinsam an der Tafel / am Smartboard die Darstellung dreidimensionaler Koordinatensysteme erarbeitet und anhand von Übungsaufgaben aus dem Schülerbuch insbesondere die Mehrdeutigkeit der Koordinaten von eingetragenen Punkten ohne Zusatzinformation über deren Lage thematisiert.Die Unterrichtsreihe fährt danach mit der Behandlung der Beschreibung von Geraden mithilfe von Vektoren fort.

Klassenstufen: EF (10./11. Jhg.), Q1 (11./12. Jhg.)

Die Beschreibung von Geraden in der Ebene wird zunächst innermathematisch für die Ebene eingeführt, bevor der Transfer auf den Raum erfolgt. Die SuS müssen dabei auf ihre in der Unterrichtsreihe zur analytischen Geometrie erlangten Kenntnisse über Ortsvektoren und Abstandsvektoren zurückgreifen, um Geraden mithilfe der Linearkombination aus Stützvektor und eines Richtungsvektor in Parameterform zu beschreiben zu können.Anhand einer Kontextaufgabe üben die SuS das Aufstellen von Geradengleichungen und stellen fest, dass die Beschreibung von Geraden mithilfe von Vektoren keineswegs eindeutig ist, da man in der Wahl von Stütz- und Richtungsvektor frei ist. Indem sie zeigen, dass zwei Gefährte sich auf der selben Route befinden, lernen die SuS dabei das Durchführen der Punktprobe.Nach dem Einüben des Vorgehens anhand weiterer Aufgaben aus dem dem Schülerbuch widmet sich die zugrunde liegende Unterrichtsreihe als nächstes der Untersuchung der gegenseitigen Lage von Geraden im dreidimensionalen Koordinatensystem.Sie überprüfen am Kontext der Fahrt zweier Boote, wo sich deren Routen schneiden und begründen, ob die Boote kollidieren oder nicht. Dazu müssen die SuS die Geradengleichungen gleichsetzen, ein lineares Gleichungssystem aufstellen und lösen (das dazu erforderliche Wissen ist den SuS bereits von den Steckbriefaufgaben bekannt).Für das dreidimensionale Pendant wird hier als Sachzusammenhang der Flug zweier Flugzeuge gewählt, die scheinbar am Himmel zu kollidieren scheinen. Ihre Schüler*innen erkennen hier schnell, dass aufgrund der dritten Koordinate die in der Ebene nicht vorhandene Möglichkeit gibt, dass zwei Geraden weder parallel verlaufen noch einander schneiden (sondern windschief sind; der Begriff wird aber erst später eingeführt). Das für den zweidimensionalen Fall Erlernte wird nun auf diesen dreidimensionalen Fall übertragen, wo die Lernenden auch rechnerisch zeigen, dass sich die Wege der Flugzeuge nicht schneiden. Unter Zuhilfenahme eines (hier beigefügten) Geogebra-Skriptes wird die Windschiefe der Geraden am Smartboard dargestellt.In den vorliegenden Kontexten lernen die SuS auch den Stützvektor (als Ortsvektor), den Parameter (als Zeit) und den Richtungsvektor (als Geschwindigkeit) von Bewegungen zu interpretieren.Um eine weitestgehend selbstständige Erarbeitung durch die Schüler*innen zu ermöglichen, sind Hilfekarten zur Auslage am Lehrerpult im Material vorhanden. Nachdem das Thema an Aufgaben aus dem Schülerbuch vertieft worden ist, lernen sie beliebige Vektoren mithilfe des Skalarprodukts auf Orthogonalität zu prüfen.Dazu zeigen sie auf diesem neuen Arbeitsblatt zunächst für selbstgewählte, orthogonale Vektoren, dass mit dem Satz des Pythagoras überprüft werden kann, dass diese tatsächlich senkrecht zueinander stehen. Dies wird dann für den zweidimensionalen Fall verallgemeinert, indem sie linke und rechte Seite vom vektoriellen Satz des Pythagoras miteinander vergleichen und erklären, dass die Produktsumme der Vektorkoordinaten im Falle von Orthogonalität Null sein muss. Die Produktsumme wird abschließend im Plenum als Skalarprodukt definiert und das Vorgehen zur Prüfung auf Orthogonalität zweier Vektoren für den dreidimensionalen Fall verallgemeinert.Im Anschluss werden einfache Aufgaben hierzu aus dem Schülerbuch bearbeitet, bevor sich die vorliegende Unterrichtsreihe der Bestimmung beliebiger Winkel zwischen zwei Vektoren widmet.Die Schüler*innen leiten auf einem weiteren Arbeitsblatt die zur Berechnung aus den Koordinaten der Vektoren a und b resultierende Formel cos(α)=a·b/|a|·|b| her. Sie werden angeleitet, Ihnen bekannte Beziehungen zu nutzen, um kleinschrittig zum Ziel zu gelangen. Dieses Vorgehen umgeht eine lehrerzentrierte Herleitung an der Tafel.Verpasse keine Neuigkeiten, Updates und Schnäppchen mehr. Folge Lehrer Dr. Michi auf Facebook, Instagram und Pinterest.

Klassenstufen: EF (10./11. Jhg.), Q1 (11./12. Jhg.)