Stochastik: Kenngrößen, Bernoulli-Experimente, Binomialverteilung, Stochastische Prozesse

Ihre Schüler*innen lernen anhand eines Reaktionszeittests grundlegende Begriffe empirischer Datennahme kennen, indem sie ermittelte Reaktionszeiten zunächst in eine Urliste eintragen, bevor sie schrittweise angeleitet die Kenngrößen Mittelwert und empirische Standardabweichung berechnen lernen und im Anschluss an Schülerbuchaufgaben vertiefen.Die Bedeutung der empirischen Standardabweichung wird über die "Gauß'sche Faustregel" anhand bereits untersuchter Zufallsexperimente verdeutlicht: In ein Standardabweichungsintervall um den Mittelwert fallen etwa 68% aller Ereignisse.Den Übergang von der Empirie zur Theorie wird bei ausreichend häufiger Wiederholung eines Experiments vollzogen: Aus der Häufigkeitsverteilung wird eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, aus dem Mittelwert m wird der Erwartungswert µ und aus der empirischen Standardabweichung s wird die theoretische Standardabweichung σ. Die neuen Größen werden dabei exemplarisch anhand eines Glücksspiels unter Verwendung von Baumdiagrammen sowie der Produktregel und Summenregel in einen Kontext eingebettet.Ihre Schüler*innen leiten sich auf dem Weg die neuen Formeln zur Berechnung der theoretischen Größen selbstständig durch eine Analogiebetrachtung zu den mittlerweile aus der Empirie bekannten Formeln ab und lernen, dass bei einem Zufallsexperiment verschiedene Zufallsvariablen betrachtet werden können.

Klassenstufen: Q1 (11./12. Jhg.), Q2 (12./13. Jhg.)

Ihre Schüler*innen lernen die Binomialverteilung am Galton-Brett als Paradebeispiel kennen. Sie identifizieren die Anzahl der Wege in die Fächer mit den Zahlen im Pascal-Dreieck und lernen die Binomialkoeffizienten als neue Schreibweise kennen. Die Bernoulli-Formel wird mithilfe eines Baumdiagramms schrittweise hergeleitet.Im Anschluss erkennen sich Ihre Lernenden, dass Bernoulli-Experimente Zufallsexperimente mit nur zwei möglichen Ausgängen sind und betrachten Bernoulli-Ketten, die sie sowohl unter Verwendung von Baumdiagrammen als auch der zuvor motivierten Bernoulli-Formel bearbeiten und lernen dabei die Binomialkoeffizienten mihilfe von Fakultäten zu berechnen.Den Einfluss der Länge n einer Bernoulli-Kette und der Trefferwahrscheinlichkeit p auf die Lage und Form der Binomialverteilung untersuchen Ihre Schüler*innen abschließend mit einem dynamischen Geogebra-Applet.

Klassenstufen: Q1 (11./12. Jhg.), Q2 (12./13. Jhg.)

Die Notwendigkeit Übergangsdiagramme statt Baumdiagramme zu verwenden wird am Problem bei Vorgängen, die zu unendlich vielen Stufen in einem Baumdiagramm führen würden, motiviert. An diesen wenden sie zunächst die Pfadregel (Produktregel) und Summenregel an, um Wahrscheinlichkeiten zu ermitteln sich nach einer vorgegebenen Anzahl von Zügen in einem bestimmten Zustand zu befinden. Die aus der Analytischen Geometrie bekannte Vektorschreibweise (Zustandsvektoren) wird als übersichtliche Notation für Wahrscheinlichkeiten eingeführt.Die Anforderung Zustandswahrscheinlichkeiten nach beliebig vielen Schritten ermitteln zu können führt zu stochastischen Übergangsmatrizen und den Methoden der Matrizenrechnung unter Verwendung des Matrix-Vektor-Schreibweise.

Klassenstufen: Q1 (11./12. Jhg.), Q2 (12./13. Jhg.)