Material mit spielerischen Einstieg über einen teilsymmetrischen Quader ("Riemer-Würfel") und der Frage: Wie groß ist die Chance, eine "6" zu werfen? Verschiedene Zufallsgeräte werden beim Leiterspiel verglichen und untersucht.Anschließend werden eigene Daten aufgenommen und mit Hilfe der beigefügten Excel-Datei (xlsx) werden die empirisch ermittelten Häufigkeiten untersucht und graphisch dargestellt. Das Gesetz der großen Zahlen wird erkannt und Wahrscheinlichkeit als bestmögliche Prognose über die zu erwartenden relativen Häufigkeiten definiert.

Die gesamte Unterrichtseinheit findest Du hier.

Problemaufwurf

Einleitung: Kurze Vorstellung des Leiterspiels (® Seite 3 des Materials) mit den Spielregeln (--> Seite 1). Aufforderung: Ihr spielt das gegeneinander, aber ihr dürft euch die Würfel selbst aussuchen.

 Austeilen der Regeln und Aufgaben ( --> Seite 1), der Spielfelder ( --> Seite 2) und der Würfel.

1. Erarbeitungsphase

SuS bekommen drei „Würfel“ für das Leiterspiel. Um zu gewinnen, müssen die SuS – je nachdem, wo ihre Spielfigur steht – bestimmte Augenzahlen bevorzugt (oder eben nicht) werfen.

Das führt sie zum Nachdenken (und Diskutieren) über die Chance (später: „Wahrscheinlichkeiten“) auf die einzelnen Augenzahlen bei den verschiedenen „Würfeln“. In der Kleingruppe kann bereits über die Symmetrie und die gleichen zu erwartenden Häufigkeiten der Würfe gegenüberliegender Augenzahlen gesprochen werden. Ein Beispiel für mögliche Diskussionen (auch während der Plateauphase) ist das 20. Feld: Hier ist eine 1 oder eine 6 vorteilhaft, die mit dem zweiten Würfel bevorzugt geworfen werden.

Schnelle Schülergruppen können das Spiel ein drittes mal durchführen und ihre Strategie weiter optimieren.

Plateauphase nach den Spieldurchgängen

Die Schüler:innen beschreiben ihre Strategie und stellen fest, dass die Augenzahl „6“ mit dem zweiten Würfel am häufigsten zu erwarten sei. Es schließt sich die Frage an, inwieweit man auf eine „6“ hoffen kann: Wie groß ist die Chance für das Werfen einer „6“?

2. Erarbeitungsphase

Mit dem  --> AB „Wie häufig wirft man eine Sechs?“ wird dieser Frage nachgegangen. Das Zufallsexperiment wird 20-mal durchgeführt (Aufgabe 1 und 2) und daraufhin eine Prognose (Aufgabe 3) gestellt. Die empirisch ermittelten relativen Häufigkeiten lassen aber vermuten, dass die Werte so noch nicht „final“ sind, da gegenüberliegende Flächen nicht gleich häufig geworfen wurden und die Werte noch sehr schwanken. Daher werden größere Datenmengen gesammelt (Aufgabe 4).

Spätestens beim Bearbeiten von Aufgabe 3 wird auffallen, dass die relativen Häufigkeiten nach 20 Würfen vermutlich noch weit auseinanderliegen und es eine größere Anzahl an Würfen benötigt, um eine möglichst „abweichungsfreie“ relative Häufigkeit zu ermitteln (die später als bestmögliche Prognose für die Wahrscheinlichkeit herausgestellt wird).

Nach dem Bearbeiten von Aufgabe 2 oder 4 (je nach Fortschritt der SuS) kann die Tabellenkalkulation unterstützend dazugeholt werden:

• nach Aufgabe 2: Hier können im Tabellenblatt „Eingabe und Analyse A2“ im Plenum die Ergebnisse eines Schülers notiert werden und die absoluten und relativen Häufigkeiten berechnet werden. Die relativen Häufigkeiten können auch im Diagramm dargestellt werden, sodass erkennbar ist, dass sie noch sehr schwanken und die Aspekte der Teilsymmetrie ggf. noch nicht erkennbar sind.
• nach Aufgabe 4: Hier visualisiert man das empirische Gesetz der großen Zahlen. Die relativen Häufigkeiten für die „Augensumme 6“ und „Augensumme 1“ sollten nun schon deutlich näher beieinander sein. Aus Symmetriegründen kann man Unterrichtsgespräch den Mittelwert der beiden relativen Häufigkeiten als deren „theoretische relative Häufigkeit“ betrachten.
• Hilfemöglichkeit: Die Ableseübung ( --> Seite 5) kann genutzt werden, um noch einmal Sicherheit bei den Diagrammen der relativen Häufigkeiten zu bekommen: In dem Beispiel wird als erstes eine „6“ geworfen, dann zweimal eine „3“.
• Hinweis zu den graphischen Darstellungen: In den Tabellenblättern gibt es jeweils zwei graphische Darstellungen, bei denen sich nur die Skalierung der Hochachse (0% bis 100% bzw. 0% bis 50%) unterscheidet, um ggf. besser eine Prognose für relative Häufigkeiten ablesen zu können.
• Hinweise zum Umgang mit der Tabellenkalkulation: Die xlsx-Datei kann nicht nur in Excel oder Numbers genutzt werden, sondern auch in Google Spreadsheets. In Google Spreadsheet könnte das Blatt per Link/QR-Code geteilt werden und die Schüler:innen tragen ihre Ergebnisse selbst ein. Die Rechtsachse („Anzahl der Würfe“) ist in Google Spreadsheet jedoch nicht korrekt skaliert.

 Mit den nach Aufgabe 4 neu ermittelten Werten für die relativen Häufigkeiten wird Aufgabe 3 reflektiert und ggf. überarbeitet: Kann man nun eine genauere Prognose tätigen?

Sicherung

Ein möglicher Merksatz lautet:

• Je häufiger ein Zufallsexperiment durchgeführt wird, desto näher schwanken die relativen Häufigkeiten um einen bestimmten Wert.
• Die bestmögliche Prognose über die zu erwartenden relativen Häufigkeiten heißt Wahrscheinlichkeit. Dafür kann man lange Versuchsreihen durchführen.
• Man kann eine Prognose der erwarteten absoluten Häufigkeit berechnen, indem man die Anzahl der Versuchsdurchführungen mit der Wahrscheinlichkeit multipliziert.