Wahrscheinlichkeit in der Sekundarstufe I: Von Laplace, Bernoulli und Baumdiagrammen (Stochastik)

Diese Arbeitsblätter werden in der 7ten Klasse zur Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung eingesetzt. Die hier verwendeten Arbeitsblätter sind auch einzeln erhältlich.Beim Erwerb dieser Unterrichtsreihe sparen Sie 16% ggü. dem Kauf der Einzelmaterialien. Entscheiden Sie sich für den Kauf des Komplettpaket Stochastik in der Sekundarstufe I, sparen Sie sogar 33%.Laplace-Experimente: Wahrscheinlichkeiten durch Abzählen günstiger und möglicher Ereignisse bestimmenUrnenexperimente mit und ohne Zurücklegen (kostenlos!)Wahrscheinlichkeiten beim Wurf von 2 Laplace-WürfelnEin Quader als Würfel: Relative Häufigkeit, Wahrscheinlichkeit und SymmetrieGesetz der großen Zahlen: Wahrscheinlichkeiten mit Zufallsexperimenten schätzenRechnen mit Häufigkeiten und WahrscheinlichkeitenSimulation von Zufallsexperimenten (kostenlos!)Boxplots - Datensätze anschaulich darstellenDie SuS haben zu Beginn dieser Sequenz bereits die Unterrichtsreihe zur Prozentrechnung, Zinsen und Zinsenszins hinter sich gebracht. Entsprechend wird hier ein Einstieg gewählt, bei dem sie Laplace-Wahrscheinlichkeiten als das Verhältnis von günstigen und möglichen Ereignissen kennenlernen und an einfachen Aufgaben aus dem Schülerbuch die Laplace-Regel anwenden. Am Beispiel von Urnenexperimenten mit und ohne Zurücklegen (kostenlos!) sowie dem Wurf von zwei Laplace-Würfeln vertiefen Sie das Verständnis der Laplace-Regel über das Abzählen von günstigen und möglichen Ausgängen (Hinweis: Urnenexperimente werden erst in der 8. Klasse mithilfe von Baumdiagrammen behandelt).Bei der Verwendung eines Quaders als Würfel entdecken die SuS, dass es Zufallsexperimente gibt, bei denen Wahrscheinlichkeiten für die möglichen Ausgänge eines Zufallsexperiments nicht notwendigerweise identisch sein müssen und daher nicht mit der Laplace-Regel bestimmt werden können. Über die Notwendigkeit die Wahrscheinlichkeiten trotzdem bestimmen zu wollen, werden am Beispiel des Quaders absolute und relative Häufigkeiten sowie der Begriff der Symmetrie eingeführt und über das Gesetz der großen Zahlen relative Häufigkeiten als Schätzung für die wahren Wahrscheinlichkeiten unter Beachtung von Symmetrien genutzt.Für einen Rückblick auf die Prozentrechnung im Sinne eines wiederholenden Lernens üben die SuS das Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten und relativen Häufigkeiten mithilfe der Ihnen bekannten Formeln der Prozentrechnung. Zum Abschluss der Reihe lernen die SuS Vogänge mithilfe von Zufallsexperimenten zu simulieren (kostenlos!) und stellen Datensätze (Schuh- und Körpergrößenverteilung in der Klasse) als Boxplots dar, um aus dieser Visualisierung Informationen über den Datensatz zu extrahieren.Verpasse keine Neuigkeiten, Updates und Schnäppchen mehr. Folge Lehrer Dr. Michi auf Facebook, Instagram und Pinterest.

Klassenstufen: 7-8. Klasse

Mit Hilfe dieser Übersicht über den SuS bekannten Begriffen aus der Unterrichtsreihe zu  ≫ Zufallsexperimenten, Laplace-Wahrscheinlichkeiten und Boxplots gelingt der Wiedereinstieg in die Wahrscheinlichkeitsrechnung der Klasse 8.Ihre SuS bearbeiten Standardaufgaben aus dem Schülerbuch (hier: Lambacher-Schweizer und dem zugehörigen Arbeitsheft) im Wesentlichen zu Laplace-Experimenten, um Kenntnisse aus dem Vorjahr zu reaktivieren.Mit diesem aufgefrischten Wissen begeben sich Ihre SuS dann an die  ≫ Verwendung von Baumdiagrammen zur Wahrscheinlichkeitsberechnung, woran sie sich im Speziellen die Pfad- und Summenregel erarbeiten, und weiteren Verlauf der Reihe an die ≫ Untersuchung von Bernoulli-Experimenten.Verpasse keine Neuigkeiten, Updates und Schnäppchen mehr. Folge Lehrer Dr. Michi auf Facebook, Instagram und Pinterest.

Klassenstufen: 7-8. Klasse

Die SuS werden schrittweise an die Nutzung von Baumdiagrammen zur Wahrscheinlichkeitsbestimmung herangeführt, nachdem sie  ≫ Grundlagen  aus Klasse 7 mithilfe einer ≫ Übersicht wiederholt haben. Dazu erkennen Sie zunächst, dass das ihnen bekannte Notieren aller möglicher Kombinationen nicht immer sinnhaft ist, da es je nach Zufallsexperiment sehr viele Kombinationsmöglichkeiten geben kann, von denen leicht Einzelne übersehen werden können. Durch die Struktur der Baumdiagramme fällt diese Fehlerquelle weg und das Abzählen von Pfaden ermöglicht  bei Laplace-Experimenten das einfache Auffinden günstiger und möglicher Ereignisse zur ihnen bekannten Wahrscheinlichkeitsbestimmung.Anhand verschiedener mehrstufiger Zufallsexperimente stellen die SuS fest, dass das Abzählen von Pfaden an seine Grenzen stößt, wenn die Zufallsexperimente keine Laplace-Experimente mehr sind, da die Wahrscheinlichkeiten an jedem Baumast nun nicht mehr identisch sind. Dies motiviert die Notwendigkeit der Erarbeitung der Pfadregel (Produktregel) für Baumdiagramme.Indem die SuS für ein einfaches Urnenexperiment ein Baumdiagramm erstellen, lernen sie, dass gleichartige Ereignisse, die mehrmals vorkommen zu einem einzigen Ereignis im Baumdiagramm zusammenfassen können und notieren die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten an den Baumästen. Die Gesamtwahrscheinlichkeit am Ende eines jeden Baumpfades ermitteln Sie, indem Sie einen Schritt zurückgehen, ein ausführliches Baumdiagramm zum selben Problem zeichnen und durch Abzählen günstiger und möglicher Pfade die Wahrscheinlichkeit bestimmen. Durch einen Vergleich der Wahrscheinlichkeiten an den Ästen des kompakten Baumdiagramms mit der am ausführlichen Baumdiagramm bestimmten Wahrscheinlichkeit folgt schließlich die Pfadregel der Wahrscheinlichkeitsrechnung, die ausgiebig an Schulbuchaufgaben (hier: Lambacher-Schweizer) eingeübt wird.Am Beispiel von  ≫ Bernoulli-Ketten werden ihre Kenntnisse um Baumdiagramme mit dem nächsten Material der zugehörigen  ≫ Unterrichtsreihe weiter ausgebaut und vertieft.Verpasse keine Neuigkeiten, Updates und Schnäppchen mehr. Folge Lehrer Dr. Michi auf Facebook, Instagram und Pinterest.

Klassenstufen: 7-8. Klasse

Beim Erwerb der zu diesem Material gehörenden ≫ Unterrichtsreihe sparen Sie 22% im Vergleich zum Erwerb der Einzelmaterialien.Nachdem Ihre SuS ≫ Baumdiagramme zur Wahrscheinlichkeitsberechnung zu verwenden gelernt haben, lernen sie nach Laplace-Experimenten Bernoulli-Experimente, die nur ein Ereignis das zugehörige Gegenereignis haben, als weitere wichtige Kategorie von Zufallsexperimenten kennen. Um das Konzept zu verstehen, geben sie zunächst zu verschiedenen Zufallsexperimenten Ereignisse und Gegenereignisse an und erkennen, dass ihre Summe immer 100% ergibt.An ausgewählten Beispielen nutzen ihre SuS sodann die Gegenwahrscheinlichkeit, um die Wahrscheinlichkeit eines gesuchten Ereignisses in solchen Situationen zu bestimmen, in denen die Berechnung der Gegenwahrscheinlichkeit einfacher ist als die des gesuchten Ereignisses. Über 1-p erhalten sie dann die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses.Zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten bei mehrstufigen Bernoulli-Experimenten (Bernoulli-Ketten) wird die Bernoulli-Formel vorgegeben und ihre Nutzung schrittweise erläutert. Dazu erkennen ihre SuS selbstständig die Systematik im Aufbau des Pascal-Dreiecks und lernen die Werte von Binomialkoeffizienten ("n über k") abzulesen. An einigen Aufgaben wird die Anwendung der Formel zunächst eingeübt. Durch das anschließende Zeichnen eines Baumdiagramms zu einer bekannten Bernoulli-Kette und dem Abzählen von günstigen Pfaden, die nach n Wiederholungen zu k Treffern führen, erkennen die SuS den Zusammenhang zwischen Baumdiagramm (Anzahl günstiger Pfade für k Treffer) und dem Binomialkoeffizienten.Verpasse keine Neuigkeiten, Updates und Schnäppchen mehr. Folge Lehrer Dr. Michi auf Facebook, Instagram und Pinterest.

Klassenstufen: 7-8. Klasse