Baumdiagramme und Bernoulli-Experimente (Wahrscheinlichkeit, Pfadregel, Summenregel, Gegenereignis, Pascal)

Mit Hilfe dieser Übersicht über den SuS bekannten Begriffen aus der Unterrichtsreihe zu  ≫ Zufallsexperimenten, Laplace-Wahrscheinlichkeiten und Boxplots gelingt der Wiedereinstieg in die Wahrscheinlichkeitsrechnung der Klasse 8.Ihre SuS bearbeiten Standardaufgaben aus dem Schülerbuch (hier: Lambacher-Schweizer und dem zugehörigen Arbeitsheft) im Wesentlichen zu Laplace-Experimenten, um Kenntnisse aus dem Vorjahr zu reaktivieren.Mit diesem aufgefrischten Wissen begeben sich Ihre SuS dann an die  ≫ Verwendung von Baumdiagrammen zur Wahrscheinlichkeitsberechnung, woran sie sich im Speziellen die Pfad- und Summenregel erarbeiten, und weiteren Verlauf der Reihe an die ≫ Untersuchung von Bernoulli-Experimenten.Verpasse keine Neuigkeiten, Updates und Schnäppchen mehr. Folge Lehrer Dr. Michi auf Facebook, Instagram und Pinterest.

Klassenstufen: 7-8. Klasse

Die SuS werden schrittweise an die Nutzung von Baumdiagrammen zur Wahrscheinlichkeitsbestimmung herangeführt, nachdem sie  ≫ Grundlagen  aus Klasse 7 mithilfe einer ≫ Übersicht wiederholt haben. Dazu erkennen Sie zunächst, dass das ihnen bekannte Notieren aller möglicher Kombinationen nicht immer sinnhaft ist, da es je nach Zufallsexperiment sehr viele Kombinationsmöglichkeiten geben kann, von denen leicht Einzelne übersehen werden können. Durch die Struktur der Baumdiagramme fällt diese Fehlerquelle weg und das Abzählen von Pfaden ermöglicht  bei Laplace-Experimenten das einfache Auffinden günstiger und möglicher Ereignisse zur ihnen bekannten Wahrscheinlichkeitsbestimmung.Anhand verschiedener mehrstufiger Zufallsexperimente stellen die SuS fest, dass das Abzählen von Pfaden an seine Grenzen stößt, wenn die Zufallsexperimente keine Laplace-Experimente mehr sind, da die Wahrscheinlichkeiten an jedem Baumast nun nicht mehr identisch sind. Dies motiviert die Notwendigkeit der Erarbeitung der Pfadregel (Produktregel) für Baumdiagramme.Indem die SuS für ein einfaches Urnenexperiment ein Baumdiagramm erstellen, lernen sie, dass gleichartige Ereignisse, die mehrmals vorkommen zu einem einzigen Ereignis im Baumdiagramm zusammenfassen können und notieren die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten an den Baumästen. Die Gesamtwahrscheinlichkeit am Ende eines jeden Baumpfades ermitteln Sie, indem Sie einen Schritt zurückgehen, ein ausführliches Baumdiagramm zum selben Problem zeichnen und durch Abzählen günstiger und möglicher Pfade die Wahrscheinlichkeit bestimmen. Durch einen Vergleich der Wahrscheinlichkeiten an den Ästen des kompakten Baumdiagramms mit der am ausführlichen Baumdiagramm bestimmten Wahrscheinlichkeit folgt schließlich die Pfadregel der Wahrscheinlichkeitsrechnung, die ausgiebig an Schulbuchaufgaben (hier: Lambacher-Schweizer) eingeübt wird.Am Beispiel von  ≫ Bernoulli-Ketten werden ihre Kenntnisse um Baumdiagramme mit dem nächsten Material der zugehörigen  ≫ Unterrichtsreihe weiter ausgebaut und vertieft.Verpasse keine Neuigkeiten, Updates und Schnäppchen mehr. Folge Lehrer Dr. Michi auf Facebook, Instagram und Pinterest.

Klassenstufen: 7-8. Klasse

Beim Erwerb der zu diesem Material gehörenden ≫ Unterrichtsreihe sparen Sie 22% im Vergleich zum Erwerb der Einzelmaterialien.Nachdem Ihre SuS ≫ Baumdiagramme zur Wahrscheinlichkeitsberechnung zu verwenden gelernt haben, lernen sie nach Laplace-Experimenten Bernoulli-Experimente, die nur ein Ereignis das zugehörige Gegenereignis haben, als weitere wichtige Kategorie von Zufallsexperimenten kennen. Um das Konzept zu verstehen, geben sie zunächst zu verschiedenen Zufallsexperimenten Ereignisse und Gegenereignisse an und erkennen, dass ihre Summe immer 100% ergibt.An ausgewählten Beispielen nutzen ihre SuS sodann die Gegenwahrscheinlichkeit, um die Wahrscheinlichkeit eines gesuchten Ereignisses in solchen Situationen zu bestimmen, in denen die Berechnung der Gegenwahrscheinlichkeit einfacher ist als die des gesuchten Ereignisses. Über 1-p erhalten sie dann die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses.Zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten bei mehrstufigen Bernoulli-Experimenten (Bernoulli-Ketten) wird die Bernoulli-Formel vorgegeben und ihre Nutzung schrittweise erläutert. Dazu erkennen ihre SuS selbstständig die Systematik im Aufbau des Pascal-Dreiecks und lernen die Werte von Binomialkoeffizienten ("n über k") abzulesen. An einigen Aufgaben wird die Anwendung der Formel zunächst eingeübt. Durch das anschließende Zeichnen eines Baumdiagramms zu einer bekannten Bernoulli-Kette und dem Abzählen von günstigen Pfaden, die nach n Wiederholungen zu k Treffern führen, erkennen die SuS den Zusammenhang zwischen Baumdiagramm (Anzahl günstiger Pfade für k Treffer) und dem Binomialkoeffizienten.Verpasse keine Neuigkeiten, Updates und Schnäppchen mehr. Folge Lehrer Dr. Michi auf Facebook, Instagram und Pinterest.

Klassenstufen: 7-8. Klasse