LK Erweiterungspaket: Hypothesentests, Stetige Zufallsvariablen und die Normalverteilung

Ihre Schüler*innen führen zunächst am Kontext von Hotelbuchungen einen zweiseitigen Hypothesentest für eine binomialverteilte Zufallsgröße durch, um herauszufinden, ob die Annahme einer gewissen Stornierungswahrscheinlichkeit gerechtfertigt ist. Dazu bestimmen die Lernenden zunächst den Annahmebereich der Nullhypothese und beurteilen dann auf Basis einen Stichprobenergebnisses, ob die Hypothese verworfen werden sollte. Der Test wird auf verschiedenen Signifikanzniveaus wiederholt.Am Beispiel eines einseitigen Hypothesentests erkunden die Schüler*innen den α-Fehler und den β-Fehler und berechnen Wahrscheinlichkeiten für deren Eintreten an einer innermathematischen Problemstellung. Mithilfe der graphischen Darstellungen der Verteilungen begründen sie, welchen Einfluss die Wahrscheinlichkeiten von Nullhypothese und der wahren Verteilung sowie die Stichprobengroße auf die Fehlerwahrscheinlichkeiten haben.

Klassenstufen: Q1 (11./12. Jhg.), Q2 (12./13. Jhg.)

Am Beispiel einer Regentropfenverteilung auf einem Tisch wird den SuS deutlich, dass die Zufallsvariable "Abstand vom Tischmittelpunkt" beliebige (nicht-diskrete) Werte annehmen kann. Durch das arbeitsteilige Abzählen von Regentropfen in konzentrischen Ringen auf 10 Arbeitsblättern mit unterschiedlichen Realisierungen der Verteilung von je 100 Regentropfen wird das Bestimmen von relativen Häufigkeiten als Quotient aus absoluter Häufigkeit und Gesamtzahl aller Ereignisse wiederholt. Indem sie die Verteilung der relativen Häufigkeiten in verschiedenen Abständen vom Tischmittelpunkt mit einer vorgegebenen Funktion modellieren, erklären die SuS, dass die relative Häufigkeit (als Schätzung der Wahrscheinlichkeit) durch das Integral über die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion gegeben ist.Nach ein wenig Übung der Wahrscheinlichkeitsbestimmung für stetige Zufallsvariablen mit Aufgaben aus dem Schülerbuch werden durch eine Analogiebetrachtung die Formeln für Erwartungswert und Standardabweichung aus den für den diskreten Fall bekannten Formeln motiviert.Am Beispiel verschiedener stetig exponentiell verteilter Zufallsgrößen wird die Thematik weiter untersucht und vertiefende Kenntnisse aus dem Bereich der Analysis eingefordert.

Klassenstufen: Q1 (11./12. Jhg.), Q2 (12./13. Jhg.)

Ihre Schüler*innen erarbeiten untersuchen an verschiedenen Kontexten die Eigenschaften stetig normalverteilter Zufallsgrößen. Anhand von Grenzverhalten und Symmetrie der zu den Verteilungen gehörenden Wahrscheinlichkeitsdichte wird die funktionale Form f(x) ∝ exp(-x) motiviert, was die grundlegende Form der Glockenkurve beschreibt.Dieses Material ist auch im Rahmen eines Stundenentwurfes erhältlich.

Klassenstufen: Q1 (11./12. Jhg.), Q2 (12./13. Jhg.)

Nachdem die grundlegende Form f(x) exp(-x) motiviert wurde, erarbeiten sich Ihre Schüler*innen eine allgemeinere Form der Gaußkurve durch Verschiebung und Streckung mithilfe dreier selbst-erstellter Geogebra-Skripte (beigefügt). Dazu wiederholen Ihre Lernenden zunächst den Einfluss von Verschiebungen und Streckungen auf Funktionsvorschriften (z.B. als Hausaufgabe). Ihre Schüler*innen stellen dann den Zusammenhang zwischen den Parametern einer gestauchten und verschobenen Glockenkurve mit der Standardweichung und dem Erwartungswert einer normalverteilten Zufallsgröße her. Als normalverteilte Zufallsgröße dienen dabei die Mittelwerte stetig gleichverteilter Zufallszahlen.#edukiknaller2021

Klassenstufen: Q1 (11./12. Jhg.), Q2 (12./13. Jhg.)