In diesem Material können die Schüler:innenanhand dreier Trassierungsaufgaben je zwei Straßenenden miteinander verbinden. Dabei werden die Kriterien (sprungfrei, knickfrei, krümmungsrückfrei) erarbeitet.

Inklusive Hilfekarten und Lösungskarten für binnendifferenzierende Hilfen.

Was die Schüler:innen bereits können

Steckbriefaufgaben lösen

 

Schritt 1: Erarbeitung mit Hilfekarten

Problemaufwurf: Arbeitsaufträge der drei Trassierungen werden arbeitsteilig vergeben und bearbeitet.

(optionale) Hilfestufen während der Erarbeitungsphase:

1. Die Schüler:innen nutzen die Hilfekarten eins bis vier, um sprungfrei und knickfrei zu trassieren.
2. Die Lehrkraft gibt vor, dass eine ganzrationale Funktion dritten Grades gefunden werden soll, also vier Bedingungen formuliert werden müssen.
3. Die Schüler:innen nutzen die Lösungsskizzen, um die Bedingungen, die Koeffizienten für das Lineare Gleichungssystem und die Lösungsfunktion zu vergleichen.

Binnendifferenzierung: Schnelle Schüler:innen können auf Hilfekarte 4 hingewiesen werden, um die Krümmungsruckfreiheit (Schritt 4) vorzuentlasten.

 

Schritt 2: Präsentation

Die Schüler:innen präsentieren sich gegenseitig das Vorgehen und die Ergebnisse.

 

Schritt 3: Sicherung

Die neue Trasse t(x) muss an den Übergangsstellen x0

• an der gleichen Stelle enden, d.h. die Graphen müssen den gleichen Funktionswert an der Übergangsstelle haben: t(x0) = f(x0)
• an der Übergangsstelle knickfrei anschließen, d.h. die Graphen müssen die gleiche Steigung an der Übergangsstelle haben: t‘(x0) = f‘(x0)

Die Bedingungen für eine gute Trassierung werden auch grafisch aufgezeigt.

 

Schritt 4: Hinführung zur Krümmungsruckfreiheit

Die Grafik verschiedene Lösungen für Trassierung 1 wird gezeigt. Alternativ: GeoGebra-Dateien zeigen und krümmungsruckfreie Graphen einblenden.

Die Lehrkraft erläutert, dass zusätzlich zur Schüler:innen-Lösung (grüner Graph) sich ein weiteres Ingenieurbüro mit einem anderen Trassenentwurf beworben hat (roter Graph). Der Stadtrat sei der Meinung, dass der rote Graph besser geeignet sei.

Die Schüler:innen werden aufgefordert, Kriterien dafür zu sammeln. Sie nennen i.d.R.:

• „die Kurve startet erst später“
• die Trasse ist am Anfang nicht so gekrümmt

Mit Hilfe der Vorstellung, wie ein Autofahrer das Lenkrad (oder ein Fahrradfahrer den Lenker) halten würde, wenn er die verschiedenen Trassen entlangfahren würde, wird erkannt, dass die rote Trasse keine Krümmung an der Übergangsstelle hat, d.h. der Übergang krümmungsruckfrei ist.

Die Sicherung wird ergänzt:

 Die neue Trasse t(x) muss an den Übergangsstellen x0

• die gleiche Krümmung haben, d.h. die Graphen müssen den gleichen Wert der zweiten Ableitung an der Übergangsstelle haben: t‘‘(x0) = f‘‘(x0)

 

Schritt 5: Erneuerung des Trassenentwurfs ohne Krümmungsruck

Die Schüler:innen nehmen sich nochmal ihrer Trassierung an und formulieren zwei weitere Bedingungen, sodass eine ganzrationale Funktion fünften Grades entsteht.

Sie nutzen die Lösungsskizzen (fortgeschrittene Version) zur Unterstützung und präsentieren sich am Schluss gegenseitig ihr Vorgehen.

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