Vom Hauptsatz der Integralrechnung zu Integralfunktionen, Uneigentlichen Integralen und Rotationskörper (+Geogebra)

Motiviert wird der Einstieg in die Integralrechnung in der Q1 über die Notwendigkeit bei bekannter Ableitungsfunktion Rückschlüsse auf die Originalfunktion zu ziehen. Es wird Wert darauf gelegt, dass die SuS sich das Thema möglichst selbstständig erarbeiten und zwischen den Arbeitsblättern viel mit Aufgaben aus dem Schülerbuch (hier: Lambacher-Schweizer) üben, um das Erlernte zu festigen.Die Arbeitsblätter (ABs) dieser Unterrichtsreihe sind auch einzeln erhältlich:Von der Ableitungsfunktion zur Originalfunktion - Rekonstruktion von GrößeOber- und Untersummen - Flächen unter beliebigen FunktionsgraphenHauptsatz der Integral- und DifferenzialrechnungRechenregeln für Integrale und StammfunktionenFlächeninhalte mit Integralen berechnen (kostenlos!)Die Unterrichtsreihe nähert sich dem Thema über die Berechnung von Zu- und Abflussmengen in / aus einem Tank hinein / heraus. An diesem Beispiel erarbeiten sich die SuS auf natürliche Weise selbstständig, dass (i) die Volumenänderungen im Tank in einem bestimmten Zeitraum durch die Berechnung der Dreiecks- und Rechtecksflächen zwischen Graph und x-Achse gelingt sowie, dass (ii) Flächen unterhalb der x-Achse negativ gewertet werden müssen. Dies ermöglicht den SuS die Originalfunktion bei bekannter Anfangsmenge im Tank zu rekonstruieren. Darüber hinaus erkennen sie bereits an dieser Stelle, dass Originalfunktionen (Stammfunktionen) bei bekannter Ableitungsfunktion nur bis auf einen konstanten Summanden bestimmt sind.Um nach ein paar weiteren Übungsaufgaben aus dem Schülerbuch die Frage zu klären, wie Flächeninhalte zwischen Graph und x-Achse bei beliebigen, nicht stückweise linearen, Funktionen berechnet werden können, versuchen sich die SuS zunächst selbst an der Näherung von Flächeninhalten, bevor im Anschluss Ober- und Untersummen eingeführt werden. Dazu arbeiten sie sich durch den zugehörigen Schulbuchtext und erklären, dass für eine möglichst genaue Schätzung des Flächeninhaltes die Intervalle der Ober- und Untersummen möglichst klein sein sollten. Die Schätzung von Flächen über Ober- und Untersummen wird am Beispiel der Wurzelfunktion eingeübt.Daraufhin wird das Integral als Grenzwert der Ober- und Untersummen für sehr große Intervallanzahl n definiert und die Integralschreibweise an Schulbuchaufgaben zunächst wiederum für Dreiecks- und Rechtsflächen sowie beliebigen Funktionen mit vorgegeben Flächeninhalten eingeübt.Zur rechnerischen Bestimmung von Integralen wird das Konzept der Stammfunktion auf einem weiteren AB erläutert und der Hauptsatz der Integral- und Differenzialrechnung an einigen Beispielen von den SuS selbst erarbeitet. An einfachen Beispielen erkennen die SuS zum Abschluss an konstanten und linearen Stammfunktionen, dass die abgeleitete Stammfunktion die Ableitungsfunktion ergibt.Nachdem die SuS mit dem Hauptsatz durch Übung an zahlreichen Schulbuchaufgaben vertraut geworden sind, beweisen Sie Regeln zum Rechnen mit Integralen und Stammfunktionen zunächst an konkreten Beispielen bevor allgemeiner Beweise geführt und die Regeln in Worte gefasst werden.Das letzte (kostenlose!) AB beschäftigt sich mit der Frage wie nicht-vorzeichenbehaftete (d.h. geometrische) Flächeninhalte zwischen Graph und x-Achse bzw. zwischen zwei Graphen mithilfe von Integralen berechnet werden können. Dazu werden die SuS angeleitet, sich das notwendige Wissen anhand des Schulbuchtextes selbstständig zu erarbeiten und anzuwenden.Verpasse keine Neuigkeiten, Updates und Schnäppchen mehr. Folge Lehrer Dr. Michi auf Facebook, Instagram und Pinterest.

Klassenstufen: Q1 (11./12. Jhg.), Q2 (12./13. Jhg.)

Das Material zur vorliegenden Unterrichtssequenz erweitert die Unterrichtsreihe ≫ Einführung in die Integralrechnung um die Inhalte des Mathematik-Leistungskurses.Ihre Schüler*innen erkunden eigenständig den Einfluss der variablen oberen Integralgrenze x und eines festen Parameters u als untere Integralgrenze auf Integralfunktionen mithilfe eines selbst-erstellten Geogebra-Skriptes (beigefügt!). Dabei werden implizit bekannte Zusammenhänge zwischen einer Originalfunktion und ihrer Stammfunktion aufgegriffen.Integralfunktionen werden bei der Untersuchung uneigentlicher Integrale benötigt. Ihre Schüler*innen lernen, dass unbegrenzte Flächen zwischen Graph und x-Achse einen endlichen Flächeninhalt haben können. Dabei werden die Ermittlung von Grenzwerten und die Limes-Schreibweise thematisiert.Zur Volumenberechnung von Rotationskörpern wird bei der Berechnung des Volumens von aus Zylindern zusammengesetzten oberen und unteren Treppenkörpern das ≫ Konzept von Ober- und Untersummen (Treppenfunktionen) erneut aufgegriffen, um die Volumenberechnung mit einem Integral zu motivieren.Lösungen zu den Aufgaben auf allen Arbeitsblättern sind am Ende des Materials enthalten.Verpasse keine Neuigkeiten, Updates und Schnäppchen mehr. Folge Lehrer Dr. Michi auf Facebook, Instagram und Pinterest.

Klassenstufen: Q1 (11./12. Jhg.), Q2 (12./13. Jhg.)