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Die vorliegende Unterrichtsreihe unterstützt ihre Schüler*innen dabei, notwendige und hinreichende Bedingungen selbstständig zu entdecken. Mit mehreren Geogebra-Applets werden Zusammenhänge anschaulich gemacht. Die Unterrichtsreihe setzt voraus, dass Ihre Schüler*innen (z.B. aus der Einführungsphase) bereits mit dem Ableitungsbegriff vertraut sind. Hier wird insbesondere die Bedeutung höherer Ableitungen als mathematisches Werkzeug untersucht.
Im Rahmen dieser Reihe aus der Analysis lernen Ihre Schüler*innen ganzrationale Funktionen auf Extremstellen, Wendestellen (entsprechend Stellen extremaler Steigung) und das Krümmungsverhalten mit Ableitungsfunktionen zu untersuchen. Dazu werden Sie in verschiedenen Kontexten angeleitet. Die so erarbeiteten Kriterien werden Sie mit selbst aufgestellten Funktionsvorschriften bei der Bearbeitung von Steckbriefaufgaben sowie bei Funktionenscharen vertiefend behandeln.
In dieser Unterrichtsreihe sind folgende Sequenzen enthalten:
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Ihre Schüler*innen verwenden ein dynamische Geogebra-Applet, das die Entstehung der Ableitungsfunktion aus den Tangentensteigungen der Originalfunktion darstellt, um Zusammenhänge zwischen der Ausgangsfunktion und dessen 1. Ableitung zu erkunden.
Klassenstufen: EF (10./11. Jhg.), Q1 (11./12. Jhg.)
Am Beispiel der Zuflussgeschwindigkeit von Wasser in einen Stausee nach starkem Regenfall bestimmen Ihre Schüler*innen in Gruppenarbeit zunächst mögliche Extremstellen der Funktion mit den ihnen bekannten Methoden der Nullstellenbestimmung der 1. Ableitung (notwendiges Kriterium), nachdem Sie die Graphen der 1. und 2. Ableitung skizziert haben.In Analogie zur Monotonie der Originalfunktion und ihrer Bedeutung im Vorzeichen der 1. Ableitung, finden die SuS selbstständig das Vorzeichenkriterium der 2. Ableitung als hinreichendes Kriterium zur Prüfung auf Hoch- und Tiefpunkte. Eine Falthilfe liegt für schwächere Teams unterstützt sie beim Finden des Kriteriums.Ihre Schüler*innen erkennen die Grenzen des hinreichenden Kriteriums am Beispiel eines Sattelpunktes in der Originalfunktion und greifen stattdessen auf das Vorzeichenwechselkriterium der 1. Ableitung zurück.
Klassenstufen: EF (10./11. Jhg.), Q1 (11./12. Jhg.)
Am Beispiel einer Fahrt auf dem Nürburgring wird den SuS ein alltagsnahes Verständnis des Krümmungsbegriffs vermittelt, den sie sodann auf Graphen von Funktionen übertragen. Durch das Skizzieren des Graphen der Ableitungsfunktion einer gegebenen Funktion und der Untersuchung seiner Monotonie in links- bzw. rechtsgekrümmten Bereichen der Originalfunktion finden die SuS selbstständig das Vorzeichenkriterium der 2. Ableitung zur Untersuchung von Funktionen auf ihr Krümmungsverhalten.
Klassenstufen: Q1 (11./12. Jhg.), Q2 (12./13. Jhg.)
Am Kontext eines Roboter-Duos, welches Mondkrater erforschen soll und nur bestimmte Steigungen bewältigen kann, ist es Aufgabe Ihrer Schüler*innen sich in die Lage eines Beratungsteams zu versetzen, das untersuchen soll, ob es die Roboter schaffen einen durch eine Funktion modellierten Krater zu erforschen.Hierzu skizzieren sie zunächst in Einzelarbeit die Graphen der zu dem gegebenen Höhenprofil gehörigen Ableitungsfunktionen, um ihr Vorwissen zu den Zusammenhängen zwischen Original- und Ableitungsfunktionen zu reaktivieren. In Gruppenarbeit sollen die SuS dann erkennen, dass Stellen maximaler Steigung der Originalfunktion an Extremstellen der 1. Ableitung und Nullstellen der 2. Ableitung zu erkennen sind. Ihre Erkenntnis formulieren sie als mathematische notwendige Bedingung an die 2. Ableitung. Nach erfolgter Bestimmung der maximalen Steigung mit dem neuen Kriterium, interpretieren sie das Ergebnis im Kontext.Hilfestellungen sind für Ihre Schüler*innen ebenso enthalten wie die Lösung zu dem Arbeitsmaterial.
Klassenstufen: Q1 (11./12. Jhg.), Q2 (12./13. Jhg.)
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