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Die vorliegende Unterrichtsreihe unterstützt ihre Schüler*innen dabei, notwendige und hinreichende Bedingungen selbstständig zu entdecken. Mit mehreren Geogebra-Applets werden Zusammenhänge anschaulich gemacht. Die Unterrichtsreihe setzt voraus, dass Ihre Schüler*innen (z.B. aus der Einführungsphase) bereits mit dem Ableitungsbegriff vertraut sind. Hier wird insbesondere die Bedeutung höherer Ableitungen als mathematisches Werkzeug untersucht.
Im Rahmen dieser Reihe aus der Analysis lernen Ihre Schüler*innen ganzrationale Funktionen auf Extremstellen, Wendestellen (entsprechend Stellen extremaler Steigung) und das Krümmungsverhalten mit Ableitungsfunktionen zu untersuchen. Dazu werden Sie in verschiedenen Kontexten angeleitet. Die so erarbeiteten Kriterien werden Sie mit selbst aufgestellten Funktionsvorschriften bei der Bearbeitung von Steckbriefaufgaben sowie bei Funktionenscharen vertiefend behandeln.
In dieser Unterrichtsreihe sind folgende Sequenzen enthalten:
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Diese Unterrichtssequenz ist Teil einer Unterrichtsreihe zur ≫ Kurvendiskussion, Extremwertproblemen mit Nebenbedingungen, Steckbriefaufgaben und Funktionenscharen.Am Kontext einer Firma, die Verpackungskartons in verschiedenen Größen zur Verfügung stellt, werden Funktionenscharen eingeführt und dabei gleichzeitig das Thema Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen aus der vorhergehenden Sequenz wiederholt. Dazu müssen die SuS eine Zielfunktion mit Parametern aufstellen und diese auch ableiten und lernen dabei, dass Parameter wie konstante Faktoren oder Summanden in einer Funktion behandelt werden.Da sich bei Veränderung des Funktionsparameters auch die Lage charakteristischer Punkte ändern (Hoch- und Tiefpunkte, Wendepunkte, etc.) lernen die Schüler*innen die Bedeutung von Ortskurven kennen und wie diese bestimmt werden. Ein dynamisches Geogebra-Arbeitsblatt (beigefügt!) visualisiert die Idee einer Ortskurve.Lösungen zu beiden Arbeitsblättern sind enthalten.In der zugehörigen ≫ Unterrichtsreihe sind ebenfalls die beiden folgenden Sequenzen enthalten:Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen: notwendige und hinreichende KriterienVorgänge und Abläufe mit Funktionen modellieren: Extremwertprobleme mit Nebenbedingungen und SteckbriefaufgabenVerpasse keine Neuigkeiten, Updates und Schnäppchen mehr. Folge Lehrer Dr. Michi auf Facebook, Instagram und Pinterest.
Klassenstufen: Q1 (11./12. Jhg.), Q2 (12./13. Jhg.)
Ihre Schüler*innen erstellen sich einen Überblick über die im Unterricht erarbeiteten Kriterien zur Berechnung und Untersuchung von Nullstellen, y-Achsenschnittpunkten, Extremstellen, Sattelpunkten, Wendestellen und dem Krümmungsverhalten ganzrationaler Funktionen. Im Anschluss überprüfen sie das Verständnis der Kriterien, indem sie meist falsche Aussagen korrigieren bzw. ergänzen. An einer innermathematischen Aufgabe mit einer einfachen Funktion 3. Grades führen die SuS im Anschluss eine Kurvendiskussion durch, indem sie die notwendigen und hinreichenden Kriterien anwenden, damit sie den zugehörigen Graphen möglichst genau skizzieren können. Die Lösung zur Kurvendiskussion liegt diesem Material bei.
Klassenstufen: Q1 (11./12. Jhg.), Q2 (12./13. Jhg.)
Am Beispiel der Zuflussgeschwindigkeit von Wasser in einen Stausee nach starkem Regenfall bestimmen Ihre Schüler*innen in Gruppenarbeit zunächst mögliche Extremstellen der Funktion mit den ihnen bekannten Methoden der Nullstellenbestimmung der 1. Ableitung (notwendiges Kriterium), nachdem Sie die Graphen der 1. und 2. Ableitung skizziert haben.In Analogie zur Monotonie der Originalfunktion und ihrer Bedeutung im Vorzeichen der 1. Ableitung, finden die SuS selbstständig das Vorzeichenkriterium der 2. Ableitung als hinreichendes Kriterium zur Prüfung auf Hoch- und Tiefpunkte. Eine Falthilfe liegt für schwächere Teams unterstützt sie beim Finden des Kriteriums.Ihre Schüler*innen erkennen die Grenzen des hinreichenden Kriteriums am Beispiel eines Sattelpunktes in der Originalfunktion und greifen stattdessen auf das Vorzeichenwechselkriterium der 1. Ableitung zurück.
Klassenstufen: EF (10./11. Jhg.), Q1 (11./12. Jhg.)
Am Kontext eines Roboter-Duos, welches Mondkrater erforschen soll und nur bestimmte Steigungen bewältigen kann, ist es Aufgabe Ihrer Schüler*innen sich in die Lage eines Beratungsteams zu versetzen, das untersuchen soll, ob es die Roboter schaffen einen durch eine Funktion modellierten Krater zu erforschen.Hierzu skizzieren sie zunächst in Einzelarbeit die Graphen der zu dem gegebenen Höhenprofil gehörigen Ableitungsfunktionen, um ihr Vorwissen zu den Zusammenhängen zwischen Original- und Ableitungsfunktionen zu reaktivieren. In Gruppenarbeit sollen die SuS dann erkennen, dass Stellen maximaler Steigung der Originalfunktion an Extremstellen der 1. Ableitung und Nullstellen der 2. Ableitung zu erkennen sind. Ihre Erkenntnis formulieren sie als mathematische notwendige Bedingung an die 2. Ableitung. Nach erfolgter Bestimmung der maximalen Steigung mit dem neuen Kriterium, interpretieren sie das Ergebnis im Kontext.Hilfestellungen sind für Ihre Schüler*innen ebenso enthalten wie die Lösung zu dem Arbeitsmaterial.
Klassenstufen: Q1 (11./12. Jhg.), Q2 (12./13. Jhg.)
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