Funktionen verstehen — Ganzrationale Funktionen in der Einführungsphase (Paket, 2 Hefte, 40 Seiten)

Der Graph von f mit f(x) = x³ + 1 ist nicht punktsymmetrisch zum Ursprung. Das steht in erstaunlich vielen Materialien falsch, weil die verbreitete Merkregel „nur ungerade Exponenten" das absolute Glied vergisst — dabei ist es der Koeffizient von x⁰, und 0 ist eine gerade Zahl. Dieses Heft bringt die Regel vollständig, mit dem Zehnsekundentest dazu: Ist f(0) ≠ 0, ist der Ursprung als Symmetriezentrum erledigt, ohne jede Rechnung. 20 Seiten zum ersten Teil des Themenfelds E.1: sechs vollständig ausgearbeitete Stunden, fünf Schülerseiten mit Lösungen, ein Kartenblatt mit zwölf Karten, ein Poster für die Wand und eine Quellenseite. Handgezeichnet gesetzt, mit programmatisch erzeugten Graphen, farbig und in einer echten Graustufenfassung. Ohne grafikfähigen Taschenrechner einsetzbar — alle Graphen und Wertetabellen sind abgedruckt. Was drin ist Teil A — Grundlagen für die Lehrkraft, Seiten 2 bis 7 Einordnung: Das hessische Kerncurriculum nennt in einem einzigen Satz acht Begriffe und setzt dafür vier von rund vierundzwanzig Unterrichtswochen an. Mit dem Wortlaut, der Stundenübersicht und der Begründung, warum das Heft ohne Rechner auskommt. Fachsprache: Funktion, Funktionsterm, Funktionsgleichung, Funktionswert, Graph — sauber getrennt, mit den drei Schreibweisen und ihren jeweiligen Zwecken. Dazu die Frage, warum „die Funktion f(x)" unpräzise ist und warum man das trotzdem nicht als Kapitalfehler anstreichen sollte. Definitions- und Wertemenge: warum D bei ganzrationalen Funktionen immer ℝ ist, der Unterschied zwischen Wertemenge und Zielmenge, und eine Tabelle, wie man W nach Grad bestimmt — mit der ehrlichen letzten Zeile, in der steht, wann es in der E-Phase nicht geht. Symmetrie: die vollständige Regel mit dem absoluten Glied, der Zehnsekundentest, und die verschobene Symmetrie als gekennzeichneter Zusatz. Grenzverhalten: der Ausklammer-Beweis, die Limes-Schreibweise mit Notationskasten, und die Wertetabelle, die zeigt, warum man mit einer Wertetabelle allein danebenliegen kann. Befundlage: eine Grafik in drei Spalten — belegt, uneinheitlich, nicht belegt. Teil B — Stunden, Seiten 8 und 9 Sechs vollständige Verlaufspläne mit Phase, Zeit, Ablauf und Material. Jede Stunde nennt die Seiten, die dazugehören. Teil C — Für die Klasse, Seiten 10 bis 18 Fünf Schülerseiten, im Anspruch wachsend und nach den hessischen Anforderungsbereichen ausgewiesen: vom Term zum Graphen, Definitions- und Wertemenge, Symmetrie nachweisen und widerlegen, Verhalten für betragsgroße Argumente, Steckbrief einer Funktion. Dazu ein Kartenblatt mit sechs Graphen- und sechs Termkarten, ausformulierte Lösungen mit vollständigem Rechenweg und ein Poster für die Klassenwand. Quellen und Paket, Seiten 19 und 20 Quellenseite mit einem eigenen Abschnitt „Was in diesem Heft nicht belegt ist", dazu die Paketübersicht mit Druck- und Lizenzhinweisen. Was dieses Material unterscheidet Jede Zahl hat eine Quelle, und was sich nicht belegen ließ, steht nicht als Behauptung drin, sondern wird ausdrücklich benannt. Vier Beispiele: Die halbe Symmetrieregel ist die falsche. „Nur ungerade Exponenten, also punktsymmetrisch" funktioniert bei der Achsensymmetrie, weil die Konstante dort wirklich erlaubt ist. Bei der Punktsymmetrie funktioniert es nicht: Das absolute Glied muss verschwinden. Das Heft entwickelt beide Kriterien als Allaussagen und zeigt, dass ein einziges Gegenbeispiel genügt. Die Wertemenge hat eine Grenze, und sie liegt vor E.2. Bei Grad 1, bei Grad 2 über die Scheitelform, bei ungeradem Grad und bei rein geraden Potenzen über die Substitution z = x² geht es. Bei einer Funktion vierten Grades mit gemischten Potenzen geht es ohne Differentialrechnung nicht. Aufgaben, die trotzdem danach fragen, meinen „lies am Graphen ab" — das sollte dann auch dastehen. Die Illusion von Linearität ist mit Zahlen belegt. Beim Item „Weihnachtsmann" wählten 77,7 Prozent von über 3 000 Lernenden der Einführungsphase die linear-proportionale Fehlantwort; 3,4 Prozent lösten korrekt. Deshalb beginnt die erste Schülerseite nicht mit „berechne f(3)", sondern mit dem Vergleich zweier Wertetabellen — eine mit konstanter Differenz, eine ohne. Ausgearbeitete Musterlösungen wirken, Selbsterklärungsaufträge nicht. Die Metaanalyse über 55 Studien findet für korrekte Musterlösungen g = 0,48, für die Kombination mit Selbsterklärungsaufträgen aber einen negativen Moderatoreffekt. Deshalb stehen die Lösungen hier vollständig da — mit Rechenweg, ohne Zusatzaufforderung. Die Werkzeugfrage, kurz beantwortet In Hessen sind grafikfähige Taschenrechner seit 2017 nicht mehr zur Abiturprüfung zugelassen; es gibt den wissenschaftlichen Taschenrechner oder ein CAS, und welches Gerät gilt, entscheidet die Schule. Technologieunabhängig verlangt das Kerncurriculum nur eine erweiterte Funktion: die Wertetabelle. Dazu kommt der hilfsmittelfreie Prüfungsteil 1 — 100 Minuten im Grundkurs, 110 im Leistungsfach. Symmetrie, Grenzverhalten und Transformationen sind klassische Aufgaben dieses Teils. Deshalb sind alle Graphen und Wertetabellen in diesem Heft abgedruckt, und alle Kernaufgaben lassen sich ohne Gerät lösen. Wer mit CAS oder GeoGebra arbeitet, kann jede Aufgabe zusätzlich am Gerät prüfen lassen — nötig ist es nirgends.

Klassenstufen: EF (10./11. Jhg.), Q1 (11./12. Jhg.)

„Die Reihenfolge ist nie beliebig" — dieser Satz steht in vielen Materialien, und er ist falsch. Von den sechs Paaren aus Verschiebung und Streckung sind vier vertauschbar. Nicht vertauschbar sind genau die beiden Paare, die in dieselbe Richtung wirken. Dieses Heft bringt die vollständige Tabelle, dazu zwei Gegenbeispiele, die auch wirklich welche sind — und benennt ausdrücklich den Fall, der gern als Gegenbeispiel angeboten wird, obwohl er keines ist. 20 Seiten zum zweiten Teil des Themenfelds E.1: sechs vollständig ausgearbeitete Stunden, fünf Schülerseiten mit Lösungen, ein Kartenblatt mit zwölf Karten, ein Poster für die Wand und eine Quellenseite. Handgezeichnet gesetzt, mit programmatisch erzeugten Graphen, farbig und in einer echten Graustufenfassung. Ohne grafikfähigen Taschenrechner einsetzbar.Was drin ist Teil A — Grundlagen für die Lehrkraft, Seiten 2 bis 7 Einordnung: die vier Grundtransformationen in einer Tabelle mit Wirkung, Richtung und Punktabbildung, dazu die eine Leitidee, aus der beide Merkwürdigkeiten folgen — was außen steht, wirkt auf die Ausgabe; was innen steht, wirkt auf die Eingabe und muss rückgängig gemacht werden. Die Konventionsfrage, offen angesprochen: Das Heft vereinbart g(x) = a · f(b · (x − c)) + d und sagt dazu, dass es keine bundesweit einheitliche Buchstabenvergabe gibt. Im Lambacher Schweizer für die Einführungsphase bedeutet b die x-Verschiebung und c die x-Streckung — genau vertauscht. Wer Heft und Buch nebeneinanderlegt, sollte das einmal laut ansagen. Warum f(x + c) nach links verschiebt: in drei Stufen. Das Punktargument als Beweis, das Sprechargument als Übersetzung für den Unterricht, und das Klammer-null-setzen als Kontrollverfahren — mit der Warnung, warum man das Verfahren nicht allein verwenden sollte. Warum bei f(b · x) der Streckfaktor 1/b ist: dasselbe Argument multiplikativ, an einem Punkt festgemacht. Dazu die Spiegelungen als Sonderfälle und zwei Fallen beim Aufgabenstellen — die unsichtbare y-Achsen-Spiegelung bei geraden Funktionen und die Absorbierbarkeit von b bei reinen Potenzfunktionen. Die Reihenfolge: alle sechs Paare einzeln geprüft, die Regel, die daraus folgt, zwei Gegenbeispiele mit Wertevergleich und die Frage, welche Reihenfolge eigentlich in der Standardform steckt. Was Strecken nicht ändert: der Symmetriesatz mit Beweis in vier Zeilen und die Grenzwerttabelle für alle vier Transformationen. Befundlage: eine Grafik in drei Spalten — belegt, uneinheitlich, nicht belegt. Teil B — Stunden, Seiten 8 und 9 Sechs vollständige Verlaufspläne mit Phase, Zeit, Ablauf und Material. Jede Stunde nennt die Seiten, die dazugehören. Teil C — Für die Klasse, Seiten 10 bis 18 Fünf Schülerseiten, im Anspruch wachsend und nach den hessischen Anforderungsbereichen ausgewiesen: die vier Grundtransformationen entdecken, innen umgekehrt, Terme aufstellen, Ketten und Reihenfolge, x-Streckung als Prüfstein. Dazu ein Kartenblatt mit sechs Graphen- und sechs Termkarten, ausformulierte Lösungen mit vollständigem Rechenweg und ein Poster für die Klassenwand. Quellen und Paket, Seiten 19 und 20 Quellenseite mit einem eigenen Abschnitt „Was in diesem Heft nicht belegt ist", dazu die Paketübersicht mit Druck- und Lizenzhinweisen. Was dieses Material unterscheidet Jede Zahl hat eine Quelle, und was sich nicht belegen ließ, steht nicht als Behauptung drin, sondern wird ausdrücklich benannt. Vier Beispiele: Das Punktargument statt des Merkspruchs. „Innen umgekehrt" ist keine Begründung, sondern eine Beobachtung. Die Begründung ist eine Äquivalenzkette über Punkte, und sie passt in vier Zeilen: Die x-Koordinate wird um c kleiner, weil das Argument um c größer ist. Wer das hat, ist auch gegen den Ablesefehler bei (3x − 6)² immun — denn er argumentiert nicht am Term. Der Vorzeichenfehler ist mit Zahlen belegt. Bei N = 569 Lernenden der Klassen 9 bis 11 tritt der Vorzeichenfehler bei der Verschiebung in x-Richtung in zwei verschiedenen Darstellungswechseln als eigenständiges Fehlermuster auf: 11,6 Prozent und 12,3 Prozent. Der übersehene Streckfaktor liegt in derselben Erhebung bei 13,4 Prozent — deshalb bekommt die x-Streckung hier eine eigene Seite und eine eigene Schülerseite. Was nicht belegt ist, steht auch so da. Es gibt keine Studie, die die Schwierigkeit von f(x − c) gegenüber f(x) + d mit einer Effektstärke oder einem statistischen Test vergleicht. Die naheliegende Vermutung ist plausibel gestützt, aber nicht gemessen — und im Heft entsprechend gekennzeichnet. Ebenso: Zu einer einschlägigen internationalen Arbeit war der Volltext nicht abrufbar; daraus ist hier keine einzige Zahl übernommen. Der Fall, der kein Gegenbeispiel ist. „Erst 2 nach rechts, dann in y-Richtung strecken" gegen „erst strecken, dann verschieben" liefert denselben Term — dieses Paar ist vertauschbar. Wer es als Gegenbeispiel einsetzt, führt vor, dass die Reihenfolge egal ist. Die beiden Gegenbeispiele in diesem Heft wirken beide in derselben Richtung, und nur deshalb funktionieren sie.

Klassenstufen: EF (10./11. Jhg.), Q1 (11./12. Jhg.)