Warum verrät die Quersumme, ob eine Zahl durch 3 teilbar ist?

„Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.“ Diese Regel kennen viele Schülerinnen und Schüler – aber warum stimmt sie eigentlich? Die Antwort steckt im Stellenwertsystem und lässt sich schon in Klasse 5 verstehen.

Jede Zahl ist eine Summe von Stellenwerten

Die Zahl 4728 bedeutet 4 · 1000 + 7 · 100 + 2 · 10 + 8 · 1. Jetzt kommt der Trick: Jeder Stellenwert ab 10 ist um 1 größer als eine Zahl aus lauter Neunen – 10 = 9 + 1, 100 = 99 + 1, 1000 = 999 + 1. Also ist

4728 = (4 · 999 + 7 · 99 + 2 · 9) + (4 + 7 + 2 + 8)

Der erste Teil ist 4707. Weil 9, 99 und 999 durch 9 teilbar sind, ist dieser Neuner-Teil durch 9 und damit auch durch 3 teilbar – bei jeder Zahl, denn auch 9999, 99999 usw. sind durch 9 teilbar. Der zweite Teil ist genau die Quersumme: 4 + 7 + 2 + 8 = 21.

Was daraus folgt

Ob 4728 durch 3 teilbar ist, entscheidet also nur die Quersumme. 21 ist durch 3 teilbar, also ist auch 4728 durch 3 teilbar (4728 = 3 · 1576). Durch 9 ist 21 nicht teilbar – und 4728 auch nicht. Dieselbe Überlegung erklärt die Regel für 9; für 2, 5 und 10 genügt dagegen die letzte Ziffer, weil alle Stellenwerte ab 10 (10, 100, 1000 usw.) selbst durch 2, 5 und 10 teilbar sind.

Im Unterricht

• Entdecken lassen: Die Schülerinnen und Schüler zerlegen eigene Zahlen wie oben in einen Neuner-Teil und die Quersumme und prüfen beide auf Teilbarkeit.

• Gegenbeispiel suchen: Gilt die Quersummenregel auch für 4? (Nein: 13 hat die Quersumme 4, ist aber nicht durch 4 teilbar.)

• Knobeln: Welche Ziffer fehlt in 47_5, damit die Zahl durch 9 teilbar ist? (4 + 7 + 5 = 16; 16 plus die fehlende Ziffer muss durch 9 teilbar sein, also fehlt die 2: 4725 = 9 · 525.)

Übungsblätter mit Teiler-Tabellen, Ziffern-Aufgaben und Zahlenrätseln in drei Niveaus, mit Lösungswort zur Selbstkontrolle, gibt es im Heft „Teilbarkeitsregeln – Knobeln mit Lösungswort“.

Text und Grafik entstanden mit Unterstützung der KI Claude (Anthropic); alle Zahlen wurden mit einem Programm nachgerechnet.