Fermi-Aufgaben: Entdeckendes Lernen im Mathematikunterricht

Im Klassenraum herrscht reges Treiben: eine Kindergruppe diskutiert gerade darüber, ob es Staus nur auf Autobahnen oder aber auch auf Land- bzw. Bundesstraßen gibt. Drei Kinder ziehen sich ihre Jacken an und wollen mit Messgeräten und Schreibblöcken ausgestattet nach draußen gehen und auf dem Parkplatz Fahrzeuge vermessen. Lisa und Paul sitzen am PC und recherchieren über Maße und Daten von Bussen im Internet. Die Tür geht auf und Tom zeigt seiner Gruppe stolz die Sachbücher, die er über Fahrzeuge in der Schulbibliothek gefunden hat. Was ist zuvor geschehen? Im Morgenkreis hat Anne über ihre Ferienfahrt berichtet. Neben den vielen schönen Erlebnissen hat sie jedoch auch eine sehr nervende Erfahrung machen müssen. Sie stand mit ihren Eltern und ihrem Bruder im Stau. Das war total langweilig, berichtete sie und die Zeit wollte gar nicht vergehen. Sofort stimmten weitere Kinder der Klasse zu, dass sie auch schon in Staus gestanden haben. Anne sagte: „Aus langer Weile habe ich alle Menschen in den Fahrzeugen rund um uns herum gezählt.“ Da mischte sich die Mathematiklehrerin der Klasse ein und warf das Problem auf: „Was meint ihr, wie viele Personen stecken wohl in einem etwa 5 km langen Stau?“ Schon war der Impuls für mathematische Entdeckungen gegeben. Bei solchen Aufgaben handelt es sich um Fermi-Aufgaben.

Was sind Fermi-Aufgaben?

Fermi-Aufgaben verdanken ihren Namen dem italienischen Kernphysiker und Nobelpreisträger Enrico Fermi (1901-1954). Er interessierte sich sehr für Denkprozesse seiner Studenten und seine wohl bekannteste Aufgabe war: Wie viele Klavierstimmer gibt es in Chicago?[1]

Fermi-Aufgaben (vgl. Bongartz & Verboom 2007, Kaufmann 2006, Wälti 2005) sind offene Problem- bzw. Schätzaufgaben, für die man in der Regel nicht sofort eine Lösungsstrategie hat. Sie sind realitätsbezogen, das heißt sie knüpfen an Alltagserfahrungen der Kinder an und besitzen einen herausfordernden Charakter. Sie erfordern, dass Kinder selbst Daten ermitteln, sich Informationen beschaffen, sinnvolle Annahmen vornehmen und mathematische Sachverhalte abschätzen. Sie verlangen von den Kindern eigene Entscheidungen. Dabei können sie von unterschiedlichen Annahmen ausgehen und verschiedene Bearbeitungswege einschlagen. Die Aufgaben fordern nicht nur das rechnerische Verarbeiten von recherchierten Daten, sondern ein sinnvolles Schätzen, angemessenes Modellieren sowie ein sorgfältiges Überschlagen bzw. Hochrechnen. Da diese Aufgaben sehr individuell bearbeitet werden, gibt es entsprechend der Offenheit auch keine „richtige“ oder „falsche“ Lösung, was zunächst für Mathematik ungewöhnlich erscheint aber dennoch und gerade deshalb einen gewissen Reiz ausmacht. Fermi-Aufgaben sind also eine Möglichkeiten zur Umsetzung entdeckender Lernformen im Mathematikunterricht, da sie

• in sehr hohem Maße die Kompetenzen einer alltagstauglichen Mathematik fördern,
• der Neugier und dem Wissensdrang der Kinder auf natürliche Art entsprechen,
• die Eigenverantwortung der Kinder für ihre Lernprozesse fördern und das Selbstvertrauen von Kindern stärken,
• herausfordernde und lebensnahe Situationen mit mathematischem Bezug bieten,
• zum Umgang mit heuristischen Strategien (Beobachten, Erkunden, Probieren, Vermuten, systematisch vorgehen, Tabellen oder Skizzen anlegen, usw.) ermuntern sowie
•  im Sinne der natürlichen Differenzierung verschiedene Schwierigkeitsniveaus umfassen und somit jedem Kind (sowohl den kleinen Matheassen als auch Kindern mit Lernproblemen) individuelle Herangehensweisen ermöglichen.

Das entdeckende Lernen im Mathematikunterricht fördert durch eigenes aktives Handeln auf der Grundlage vorhandener Denkstrukturen und Kompetenzen vor allem die Problemlösefähigkeit (Winter 1991, S. 1-7) von Kindern. Seine Bedeutung liegt nach Winter (ebenda) vor allem darin, dass mathematisches Wissen umorganisiert wird, Transferleistungen erbracht werden und somit intensiv geübt wird. Neue Sachverhalte werden aufbauend an vorhandene Strukturen angeknüpft. Wenn Kinder beim Forschen und Entdecken geniale Ideen, Lösungen und Ansätze entwickeln, dann führt dies nicht selten zum Flowerleben und somit zu emotionalen Verknüpfungen, so dass Inhalte länger behalten und leichter erinnert werden können. Kinder lernen also mit Begeisterung und das vor allem immer dann, wenn es um ihre oder um herausfordernde und spannende Themen geht.

Beim Vorstellen der Lösungen zu Fermi-Aufgaben werden die Kinder herausgefordert, ihre Überlegungen und Lösungswege darzustellen, zu begründen, mit anderen zu vergleichen und zu diskutieren. Somit leisten diese Aufgaben einen Beitrag zur Förderung der in den Bildungsstandards vorgegebenen mathematischen Prozessziele:

• Kreativ sein und Probleme lösen;
• Kommunizieren und argumentieren;
• Begründen und Prüfen sowie
• Ordnen und Muster nutzen.

Didaktisch-methodische Hinweise zum Einsatz von Fermi-Aufgaben

Trotz der enormen Offenheit von Fermi-Aufgaben sind gemeinsam mit den Kindern erarbeitete Rituale zur Arbeit mit diesem Aufgabenformat enorm wichtig. Sie geben ihnen eine gute Orientierung und Sicherheit. So könnte eine Einteilung in drei Phasen: Einstiegsphase, Forscherphase und Präsentationsphase einen sinnvollen Rahmen setzen. Da die Bearbeitung solcher Aufgaben sehr komplex und zeitintensiv sind, wäre die Verteilung von „Ämtern“ durch die Kinder selbst sinnvoll, z.B. ein Zeitwächter, ein Materialwächter, ein Schreiberling.

Folgende Fragen sind im Vorfeld des Einsatzes von Fermi-Aufgaben aus didaktisch-methodischer Sicht der Lehrkraft sinnvoll:

• Gibt es Begriffe oder Inhalte, die mit den Kindern vor der Bearbeitung besprochen werden sollten?
• Welche Impulse unterstützen die Kinder in den einzelnen Phasen der Problembearbeitung?
• Welche Vorgehensweisen für die Problemlösung sind generell möglich?
• Welche Hilfsmittel (z.B. Taschenrechner, Messinstrumente,…) und Materialien (Bücher, PC, …) könnten die Kinder evtl. benötigen und unterstützen die Problembearbeitung?
• Welche Lernorte außerhalb des Klassenraums könnten die Kinder nutzen?
• Wie kann ich Kinder unterstützen, die keine eigenen Ideen zur Problemlösung haben?
• Sollen die Forscherergebnisse der Kinder bewertet werden? Wenn ja, nach welchen Kriterien? 

Beispiele für Fermi-Aufgaben

• Wie schwer wäre deine Schultasche, wenn sie mit 1-Euro-Münzen gefüllt wäre? (Was könntest du dir von diesem Geld kaufen? Wie hoch wäre der Turm, wenn man alle diese Geldstücke aufeinanderstapeln würde?)
• Wie lange würdest du brauchen, um zu Fuß von deinem Heimatort nach Berlin zu kommen? (Wie lange würdest du für diese Strecke mit dem Fahrrad, mit dem Zug oder mit dem Auto benötigen?)
• Aufgaben zur Zahnputz-Mathematik (kostenloses Material)

Fazit

Ausgangspunkt konstruktivistischer Lernansätze, die aktuell sowohl in der Pädagogik als auch in der Mathematikdidaktik diskutiert werden, ist die Vorstellung, dass jedes Kind seine Welt (auch die mathematische) selbst in sozialer Interaktion mit anderen konstruiert. Lerngegenstände können demnach nicht einfach vermittelt und erklärt werden. Der Lernende eignet sich diese vor allem aktiv-entdeckend auf der Grundlage vorhandener individueller Handlungs- und Denkstrukturen sowie bisheriger Erfahrungen an. Hinzu kommt ein ganzheitlicher mathematischer Blick, der ein komplexes Verständnis von Mathematik betont. Denn Mathematik ist kein statisch abgeschlossenes System von Zahlen, Formen und Rechenoperationen, sondern eine sich dynamisch entwickelnde Wissenschaft von Mustern und Strukturen, in der Problemlöseprozesse, mathematisches Tätigsein und entdeckendes Lernen eine wesentliche Rolle einnehmen. Das mathematische Lernen mit Fermi-Aufgaben trägt genau diesem komplexen und ganzheitlichen Verständnis von Mathematik Rechnung.

Literaturquellen

• Bongartz, T. & Verboom, L. (2007): Fundgrube Sachrechnen. Unterrichtsideen, Beispiele und methodische Anregungen für das 1.-4. Schuljahr. Cornelsen Scriptor: Berlin
• Kaufmann, S. (2006): Umgang mit unvollständigen Aufgaben. Fermi-Aufgaben in der Grundschule. In: Die Grundschulzeitschrift. H. 191, S.16-20
• Wälti, B. (2005): Fermi-Fragen. In: Grundschule Mathematik. H. 4, S. 34-37
• Winter, H. (1991): Entdeckendes Lernen im Mathematikunterricht. Vieweg: Braunschweig/Wiesbaden, S.1-7

Mandy Fuchs ((www.mandyfuchs.de))