Materialpaket - Integralrechnung ganzrationale Funktionen

Bei dieser Aufgabe handelt es sich um eine anwendungsbezogene Aufgabe anhand eines Beispiels einer ganzrationalen Funktion. Zur der Bearbeitung der Teilaufgaben werden Gebiete der Integral- und Differentialrechnung benötigt.

Klassenstufen: EF (10./11. Jhg.), Q1 (11./12. Jhg.)

Das Integral in der Praxis – Laden eines PV-Speichers (Analysis, Sek II) Wie viel Energie kann eine Photovoltaikanlage an einem sonnigen Tag tatsächlich speichern? Und wann ist ein Batteriespeicher voll? Mit dieser realitätsnahen Anwendungsaufgabe verbindest du zentrale Inhalte der Analysis direkt mit einem aktuellen und lebensnahen Kontext: der Energiegewinnung durch Photovoltaik. Darum geht es Ausgehend von einer quadratischen Leistungsfunktion modellieren deine Schülerinnen und Schüler die Ladeleistung einer PV-Anlage im Tagesverlauf. Sie analysieren: den Zeitpunkt der maximalen Leistung mithilfe der Ableitung, den Zeitpunkt der vollständigen Speicherladung über das bestimmte Integral, die tatsächlich gespeicherte Energiemenge, die Netzeinspeisung bei begrenzter Speicherkapazität, sowie die Angemessenheit der Speichergröße. Abgerundet wird die Aufgabe durch die Skizze und Interpretation der Bestandsfunktion unter Berücksichtigung einer Kapazitätsgrenze.   Inhaltliche Schwerpunkte Extremwertbestimmung mit der 1. Ableitung Bestimmte Integrale zur Rekonstruktion von Gesamtmengen Interpretation von Funktionen im Sachkontext Zusammenhang zwischen Änderungsrate und Bestand Modellierung und kritische Beurteilung eines technischen Systems   Kompetenzen, die gefördert werden Deine Lernenden … wenden Differential- und Integralrechnung in einem realitätsnahen Kontext an, interpretieren mathematische Ergebnisse sachgerecht, verstehen den Zusammenhang zwischen Leistung und Energie, erkennen Modellgrenzen und reflektieren Annahmen, argumentieren mathematisch präzise.   Einsatzmöglichkeiten Einführungsphase zum bestimmten Integral Vertiefung: Zusammenhang von Ableitung und Integral Klausurvorbereitung (Anwendungsaufgabe mit Transferanteil) Abiturtraining im hilfsmittelfreien oder hilfsmittelgestützten Teil Die Aufgabe eignet sich ideal für die gymnasiale Oberstufe (Q1/Q2) und kann sowohl als Einzelarbeit als auch als Gruppen- oder Prüfungsaufgabe eingesetzt werden.

Klassenstufen: EF (10./11. Jhg.), Q1 (11./12. Jhg.)

Training im Radsport – Anwendungsaufgabe zur Analysis (Ableitungen & Integrale) Diese realitätsnahe Anwendungsaufgabe aus dem Bereich Sportwissenschaft verbindet zentrale Inhalte der Analysis mit einem motivierenden Kontext aus dem Radsport. Schülerinnen und Schüler analysieren mithilfe von Ableitungen und Integralen den Verlauf einer Herzfrequenz während einer Trainingseinheit. Die Aufgabe eignet sich hervorragend zur Vertiefung und Anwendung der Differential- und Integralrechnung und fordert sowohl rechnerische Kompetenzen als auch die Interpretation mathematischer Ergebnisse im Sachzusammenhang. Die Herzfrequenz eines Sportlers wird dabei durch eine Polynomfunktion dritten Grades modelliert. Auf dieser Grundlage bearbeiten die Lernenden verschiedene Fragestellungen zur Entwicklung der Herzfrequenz während einer 30-minütigen Trainingseinheit. Inhalt der Aufgabe Die Schülerinnen und Schüler bearbeiten unter anderem folgende Aspekte: Berechnung der Herzfrequenz zu Trainingsbeginn Untersuchung eines vorgegebenen Belastungsbereichs Bestimmung von Extremwerten und Änderungsraten Analyse der stärksten Abnahme der Herzfrequenz Skizzieren und Interpretieren des Funktionsgraphen Bestimmung der Gesamtanzahl der Herzschläge mithilfe eines Integrals Berechnung der durchschnittlichen Herzfrequenz Untersuchung der maximalen Steigung innerhalb einer Trainingsphase Tangentenbestimmung und lineare Approximation Die Aufgaben decken alle drei Anforderungsbereiche (AFB I–III) ab und eignen sich daher besonders gut für Klassenarbeiten, Klausuren oder Prüfungsvorbereitung. Kompetenzen Die Schülerinnen und Schüler trainieren unter anderem: Ableitungen bilden und interpretieren Extremstellen bestimmen Änderungsraten im Sachzusammenhang deuten Integrale zur Bestimmung von Gesamtgrößen verwenden Funktionsgraphen interpretieren Tangenten und lineare Approximation anwenden   Einsatzmöglichkeiten Dieses Material eignet sich besonders für: Klassenarbeiten oder Klausuren Abiturvorbereitung Vertiefungsaufgaben zur Analysis Kontextaufgaben im Unterricht Wiederholungsphasen  Details zum Material Schulfach: Mathematik Thema: Analysis / Differential- und Integralrechnung Klassenstufe: Oberstufe / Berufliches Gymnasium / FOS Umfang: mehrteilige kontextbezogene Aufgabe Bearbeitungszeit: ca. 45–60 Minuten  Vorteile dieses Materials motivierender Realitätsbezug (Sport & Training) ideal für Klausuren oder Leistungsüberprüfungen alle Anforderungsbereiche enthalten verbindet Differentialrechnung und Integralrechnung fördert mathematische Modellierungskompetenz  

Klassenstufen: EF (10./11. Jhg.), Q1 (11./12. Jhg.)

In diesem Skript wird die Integralrechnung anhand von ganzrationalen Funktionen eingeführt. Dabei wird sowohl der Ansatz der Rekonstruktion der Gesamtmenge als auch die Flächenberechnung krummliniger Flächenstücke erklärt und anschaulich dargstellt. Auch sind prasixnahe und anwendungsbezogene Aufgaben Bestandteil dieser Ausführungen.

Klassenstufen: EF (10./11. Jhg.), Q1 (11./12. Jhg.)